五邊形數定理...
数论数学定理
歐拉歐拉函數廣義五邊形數幂級數形式冪級數分割函數母函數递归
五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數ϕ(q){displaystyle phi (q)}展開式的特性[1][2]。歐拉函數的展開式如下：
- ∏n=1∞(1−xn)=∑k=−∞∞(−1)kxk(3k−1)2=∑k=0∞(−1)kxk(3k±1)2{displaystyle prod _{n=1}^{infty }(1-x^{n})=sum _{k=-infty }^{infty }(-1)^{k}x^{frac {k(3k-1)}{2}}=sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}x^{frac {k(3kpm 1)}{2}}}
亦即
- (1−x)(1−x2)(1−x3)⋯=1−x−x2+x5+x7−x12−x15+x22+x26+⋯.{displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+cdots .}
歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。
若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。
和分割函數的關係
歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：
- 1ϕ(x)=∑k=0∞p(k)xk{displaystyle {frac {1}{phi (x)}}=sum _{k=0}^{infty }p(k)x^{k}}
其中p(k){displaystyle p(k)}為k的分割函數。
上式配合五邊形數定理，可以得到
- (1−x−x2+x5+x7−x12−x15+x22+x26+⋯)(1+p(1)x+p(2)x2+p(3)x3+⋯)=1{displaystyle (1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+cdots )(1+p(1)x+p(2)x^{2}+p(3)x^{3}+cdots )=1}
考慮xn{displaystyle x^{n}}項的係數，在 n>0 時，等式右側的係數均為0，比較等式二側的係數，可得
- p(n)−p(n−1)−p(n−2)+p(n−5)+p(n−7)+⋯=0{displaystyle p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)+cdots =0}
因此可得到分割函數p(n)的递归式
- p(n)=p(n−1)+p(n−2)−p(n−5)−p(n−7)+⋯{displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+cdots }
以n=10為例
- p(10)=p(9)+p(8)−p(5)−p(3)=30+22−7−3=42{displaystyle p(10)=p(9)+p(8)-p(5)-p(3)=30+22-7-3=42}
參考資料
^ 原文為Euler, Leonhard. Evolutio producti infiniti (1−x)(1−xx)(1−x3)(1−x4)(1−x5){displaystyle (1-x)(1-xx)(1-x^{3})(1-x^{4})(1-x^{5})} etc. in seriem simplicem. Acta Academiae Scientarum Imperialis Petropolitinae. 1775, 1780: 47–55.
^
英文翻譯版為Bell, J在2004-12-4翻譯的《The Expansion of the Infinite Product (1−x)(1−xx)(1−x3)(1−x4)(1−x5)(1−x6){displaystyle (1-x)(1-xx)(1-x^{3})(1-x^{4})(1-x^{5})(1-x^{6})} etc. into a Single Series》，http://www.arxiv.org/abs/math.HO/0411454/.
外部連結
- Euler and the pentagonal number theorem
On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages
Number Theorem.[永久失效連結] at MathWorld
The Pentagonal Number Theorem and All That from Dick Koch.
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