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在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率
,包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络)∇{displaystyle nabla }(或者叫协变导数)由下式给出:

R(u,v)w=∇u∇vw−∇v∇uw−∇[u,v]w.{displaystyle R(u,v)w=nabla _{u}nabla _{v}w-nabla _{v}nabla _{u}w-nabla _{[u,v]}w.}

这里R(u,v){displaystyle R(u,v)}是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。

注意有些作者用相反的符号定义曲率.

如果u=∂/∂xi{displaystyle u=partial /partial x_{i}} 与 v=∂/∂xj{displaystyle v=partial /partial x_{j}} 是坐标向量场则[u,v]=0{displaystyle [u,v]=0}所以公式简化为

R(u,v)w=∇u∇vw−∇v∇uw{displaystyle R(u,v)w=nabla _{u}nabla _{v}w-nabla _{v}nabla _{u}w}

也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。

线性变换w↦R(u,v)w{displaystyle wmapsto R(u,v)w}也称曲率变换。

對稱性和恆等式

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

• R:(w,u,v)→R(u,v)w,{displaystyle R:(w,u,v)rightarrow R(u,v)w,}

映射R{displaystyle R}关于每一个自变量都是C∞{displaystyle C^{infty }}线性的, 故R{displaystyle R}是M{displaystyle M}上的(1,3){displaystyle (1,3)}型光滑张量场, 称之为纺射联络空间(M,∇){displaystyle (M,nabla )}的曲率张量.
在坐标向量场下，R{displaystyle R} 可以表示为

• R=Rkijldxk⊗∂∂xl⊗dxi⊗dxj.{displaystyle R=R_{kij}^{l}dx^{k}otimes {frac {partial }{partial x^{l}}}otimes dx^{i}otimes dx^{j}.}

还可以定义四重线性映射，如下

• R:(w,z,u,v)→g(R(u,v)w,z),{displaystyle R:(w,z,u,v)rightarrow g(R(u,v)w,z),}

则映射 R{displaystyle R}关于每一个自变量都是C∞{displaystyle C^{infty }} 线性的, 故R{displaystyle R}是黎曼流形(M,g){displaystyle (M,g)}上的 (0,4){displaystyle (0,4)} 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 (M,g){displaystyle (M,g)} 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, R{displaystyle R} 可以表示为

• R=Rklijdxk⊗dxl⊗dxi⊗dxj.{displaystyle R=R_{klij}dx^{k}otimes dx^{l}otimes dx^{i}otimes dx^{j}.}

• 注：上述纺射联络空间 (M,∇){displaystyle (M,nabla )}上的曲率张量 R{displaystyle R}与黎曼流形 (M,g){displaystyle (M,g)} 上的黎曼曲率张量 R{displaystyle R} 是同一个对象的不同表现形式.


• 注 Rklij=glmRkijm{displaystyle R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^{m}}.

黎曼曲率张量有如下的对称性:

• R(u,v)=−R(v,u){displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}


• ⟨R(u,v)w,z⟩=−⟨R(u,v)z,w⟩{displaystyle langle R(u,v)w,zrangle =-langle R(u,v)z,wrangle _{}^{}}


• R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0{displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}

最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有n2(n2−1)/12{displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

⟨R(u,v)w,z⟩=⟨R(w,z)u,v⟩{displaystyle langle R(u,v)w,zrangle =langle R(w,z)u,vrangle _{}^{}}

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:

∇uR(v,w)+∇vR(w,u)+∇wR(u,v)=0{displaystyle nabla _{u}R(v,w)+nabla _{v}R(w,u)+nabla _{w}R(u,v)=0}

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

• Rabcd=−Rbacd{displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd},}


• Rabcd=Rcdab{displaystyle R_{abcd}=R_{cdab},}

• 第一（代數）比安基恒等式：Rabcd+Radbc+Racdb=0{displaystyle R_{abcd}+R_{adbc}+R_{acdb}=0,}或等價地寫為Ra[bcd]=0{displaystyle R_{a[bcd]}=0,}
  

• 第二（微分）比安基恒等式：∇eRabcd+∇dRabec+∇cRabde=0{displaystyle nabla _{e}R_{abcd}+nabla _{d}R_{abec}+nabla _{c}R_{abde}=0,}或等價地寫為Rab[cd;e]=0{displaystyle R_{ab[cd;e]}=0,}
  

其中方括号表示对下标的反對稱化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。

相關條目

• 黎曼流形的曲率


• 截面曲率


• 曲率形式

外部連結

• 
  （英文）Wolfram MathWorld —— Riemann Tensor、Bianchi identity、Contracted Bianchi identity