超越方程 目录 舉例 求解方法 參照 參考文献 导航菜单数值分析大学数学实验
方程
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超越方程(英语:transcendental equation)是包含超越函數的方程[1],也就是方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函數,与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解無法利用代數幾何來進行。大部分的超越方程求解沒有一般的公式,也很難求得解析解[2]。
目录
1 舉例
2 求解方法
3 參照
4 參考文献
舉例
以下的方程分別因為有指數函數、三角函數等超越函數,因此均為超越方程。
- exx=1{displaystyle e^{x}x=1}
- x=sinx{displaystyle x=sin {x}}
在天文學中,有關軌道偏近點角E{displaystyle E}的开普勒方程也是超越方程:
- M=E−esinE{displaystyle M=E-esin {E}}
其中:
M{displaystyle M}為軌道的平近點角。
e{displaystyle e}為軌道的離心率。
求解方法
超越方程的求解可以利用繪圖法及數值方法求解。若利用繪圖法,可以分別令等式二邊的式子等於另一變數(例如y{displaystyle y}),然後在二個圖繪製在一起,二個圖的交點即為超越方程的解。數值方法也是以此想法往下延伸,利用數學公式求得二個圖交點的位置。
若是數值很小,或是已知解在某一數值附近,也可以用泰勒級數的方式來用多項式近似超越函數,因此超越方程可用代數方程近似,再針對代數方程求解。用牛頓法也可以求超越方程的數值解。
有些特殊的函數可用來表示超越方程的解。例如複變函數朗伯W函数就可以表示一些超越方程的解。以下的超越方程
- xex=1{displaystyle xe^{x}=1}
其解為W(1){displaystyle W(1)},近似值為0.56714329…{displaystyle 0.56714329dots }(歐米加常數)。
參照
- 代数方程
- 超越函數
- 超越數
- 朗伯W函数
參考文献
^ 冯有前. 数值分析. 清华大学出版社. 2005: 11. ISBN 7810824953.
^ 姜启源. 大学数学实验. 清华大学出版社. 2005: 113. ISBN 730210140X.