正則素數 文獻 导航菜单
数学中未解决的问题素數分圆域
數論恩斯特·庫默爾費馬最後定理伯努利數375967101103131149157233257OEISA000928
未解決的数学問題：是否有無窮個正則素數，且其分布密度為e−1/2{displaystyle e^{-1/2}}？ |  |
在數論中，正則素數的概念首先由恩斯特·庫默爾在1847年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是：
定義. 素數 p{displaystyle p} 是正則素數，若且唯若 p{displaystyle p} 不整除分圓域 Q(ζp){displaystyle mathbb {Q} (zeta _{p})} 的類數。
此定義美則美矣，卻不容易計算。另一種定義方式是：素數 p{displaystyle p} 是正則素數，若且唯若 p{displaystyle p} 不整除伯努利數 Bk(2≤k≤p−3,2|k){displaystyle B_{k}quad (2leq kleq p-3,2|k)} 的分子。
頭幾個正則素數為：
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... （OEIS中的数列A007703）
庫默爾證明了：當 p{displaystyle p} 是正則素數時，xp+yp=zp{displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}} 不存在非零整數解。最小的10個非正則素數是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257（OEIS中的数列A000928）。
已知存在無窮多個非正則素數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則素數。
文獻
- Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.
