多解析度分析 定義 参考文献 导航菜单改善这篇條目
小波分析
離散小波变换快速小波轉換Lp空間
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多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）或是多尺度近似（multiscale approximation, MSA）是最常用來分析離散小波变换〈DWT〉或是驗證快速小波轉換〈FWT〉理論的方法。本分析方法在1989年[1]及1998年[2]由Stephane Mallat 著作的論文提到。
定義
Lp空間L2(R){displaystyle L^{2}(mathbb {R} )}的多解析度分析由一系列嵌套子空間組成
- {0}⋯⊂V1⊂V0⊂V−1⊂⋯⊂V−n⊂V−(n+1)⊂⋯⊂L2(R){displaystyle {0}dots subset V_{1}subset V_{0}subset V_{-1}subset dots subset V_{-n}subset V_{-(n+1)}subset dots subset L^{2}(mathbb {R} )}
- 取樣定理
- 取樣定理主要是在重建一個時間長度T{displaystyle T}中被取樣過的信號：若信號是有限頻寬，只要奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）比1/T{displaystyle T}小及可完整重建信號；否則得到的重建信號為近似的信號。因此可以說，愈小的T{displaystyle T}使得信號的重建愈容易，T{displaystyle T}的大小將決定信號解析度，同時，取樣頻率也受到，T{displaystyle T}的限制。
- 概念
- 倘若一個信號具有變化速度差異大的區段，像是信號快速變化的區段穿插著變化平緩的區段，則上述單一解析度將不適用於分析信號。因此，多重解析度分析的概念因此而生。將信號在不同解析度上分析。
- 定義
- 令Vj,j=…,−2,−1,0,1,2,…{displaystyle V_{j},j=dots ,-2,-1,0,1,2,dots }為在函數空間L2(R){displaystyle L^{2}(R)}裡的子空間的數列，假如
- 分簇性(nested)：⋯⊂V0⊂V1⊂⋯⊂Vn⊂Vn+1⊂⋯⊂L2(R){displaystyle dots subset V_{0}subset V_{1}subset dots subset V_{n}subset V_{n+1}subset dots subset L^{2}(mathbb {R} )}
- 稠密性(density)：⋯∪V−1∪V0∪V1∪…¯=L2(R){displaystyle {bar {dots cup V_{-1}cup V_{0}cup V_{1}cup dots }}=L^{2}(R)}
- 分離性(seperation)：⋯∩V−1∩V0∩V1∩⋯=0{displaystyle dots cap V_{-1}cap V_{0}cap V_{1}cap dots ={0}}
- 調節性(scaling)：f(2−jx)∈V0↔f(x)∈Vj{displaystyle f(2^{-j}x)in V_{0}leftrightarrow f(x)in V_{j}}
- 正規正交基底(orthonormal basis)：ϕ∈V0{displaystyle phi in V_{0}}且集合{ϕ(x−k),k∈Z}{displaystyle left{phi (x-k),kin Zright}}為V0{displaystyle V_{0}}的一正規正交基底。
- 分簇性(nested)：⋯⊂V0⊂V1⊂⋯⊂Vn⊂Vn+1⊂⋯⊂L2(R){displaystyle dots subset V_{0}subset V_{1}subset dots subset V_{n}subset V_{n+1}subset dots subset L^{2}(mathbb {R} )}
- 則{Vj,j∈Z}{displaystyle left{V_{j},jin Zright}}為帶有調整函數ϕ{displaystyle phi }的多解析度分析。
- 令Vj,j=…,−2,−1,0,1,2,…{displaystyle V_{j},j=dots ,-2,-1,0,1,2,dots }為在函數空間L2(R){displaystyle L^{2}(R)}裡的子空間的數列，假如
- 應用
- 在高頻的時候，使用較細緻的時間解析度及較粗糙的頻率解析度。
- 在低頻的時候，使用較細緻的頻率解析度及較粗糙得時間解析度。
- 相當適合使用在長時間都是低頻成份，只有在短時間內會有高頻成份的信號
参考文献
^ Mallat, S., "A Theory for Multi-resolution Approximation: the Wavelet Approximation," IEEE Trans. PAMI 11 (1989), 674-693.
^ Mallat, S., "A Wavelet Tour of Signal Processing," Academic Press, San Diego, 1998.
- Albert Boggess, Francis J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis"
