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圖中△{displaystyle triangle } ABC和中线AD

中線是三角形中从某邊的中點連向對角的頂點的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心。

性质1

任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中線都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

证明

考虑三角形ABC。设D为AB¯{displaystyle {overline {AB}}}的中点，E为BC¯{displaystyle {overline {BC}}}的中点，F为AC¯{displaystyle {overline {AC}}}的中点，O为重心。

根据定义，AD=DB,AF=FC,BE=EC{displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}，因此[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]{displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]}，其中[ABC]{displaystyle [ABC]}表示三角形△ABC{displaystyle triangle ABC}的面积。

我们有：

[ABO]=[ABE]−[BEO]{displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}

[ACO]=[ACE]−[CEO]{displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}

因此，[ABO]=[ACO]{displaystyle [ABO]=[ACO]}且[ADO]=[DBO],[ADO]=12[ABO]{displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={frac {1}{2}}[ABO]}。

由于[AFO]=[FCO],[AFO]=12[ACO]=12[ABO]=[ADO]{displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={frac {1}{2}}[ACO]={frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}，所以[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]{displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}。
同理，也可以证明[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]{displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}。

性质2

在△{displaystyle triangle } ABC中，連接角A的中線記為ma{displaystyle m_{a}}，連接角B的中線記為mb{displaystyle m_{b}}，連接角C的中線記為mc{displaystyle m_{c}}，它們長度的公式為：

ma=122(b2+c2)−a2{displaystyle m_{a}={frac {1}{2}}{sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}

mb=122(c2+a2)−b2{displaystyle m_{b}={frac {1}{2}}{sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}}}

mc=122(a2+b2)−c2{displaystyle m_{c}={frac {1}{2}}{sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}

證明

在△{displaystyle triangle }ABD中，AD=ma{displaystyle AD=m_{a}}

(ma)2=(AB)2+(BD)2−2(AB)(BD)cos⁡∠ABD{displaystyle (m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)cos angle ABD}（餘弦定理）

以a,b,c表示cos⁡∠ABD{displaystyle cos angle ABD}

i.e. cos⁡∠ABD=c2+a2−b22ca{displaystyle i.e. cos angle ABD={frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}} & BD=a2{displaystyle BD={frac {a}{2}}}

把以上兩等式代入原式，

i.e. (ma)2=(c)2+(a2)2−2(c)(a2)c2+a2−b22ca{displaystyle i.e. (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({frac {a}{2}})^{2}-2(c)({frac {a}{2}}){frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}}

=(c)2+(a24)−(c2+a2−b22){displaystyle =(c)^{2}+({frac {a^{2}}{4}})-({frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})}

=4c2+a2−2c2−2a2+2b24{displaystyle ={frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}}

=2b2+2c2−a24{displaystyle ={frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}

∴ma=122(b2+c2)−a2{displaystyle m_{a}={frac {1}{2}}{sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}

同理，可證得其他二式

Q.E.D.

參見

• 中線定理


• 角平分線長公式