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黎曼几何廣義相對論所用張量曲率
微分几何黎曼流形仿射联络流形撓率列维-奇维塔联络仿射联络协变导数里奇坐标反對稱化协变导数广义相对论
在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率
,包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络)∇{displaystyle nabla }(或者叫协变导数)由下式给出:
- R(u,v)w=∇u∇vw−∇v∇uw−∇[u,v]w.{displaystyle R(u,v)w=nabla _{u}nabla _{v}w-nabla _{v}nabla _{u}w-nabla _{[u,v]}w.}
![R(u,v)w=nabla _{u}nabla _{v}w-nabla _{v}nabla _{u}w-nabla _{{[u,v]}}w.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a521909ebf9b30c4cfb21369a3a25d3ed8dc5f7c)
这里R(u,v){displaystyle R(u,v)}是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。
注意有些作者用相反的符号定义曲率.
如果u=∂/∂xi{displaystyle u=partial /partial x_{i}} 与 v=∂/∂xj{displaystyle v=partial /partial x_{j}} 是坐标向量场则[u,v]=0{displaystyle [u,v]=0}所以公式简化为
![[u,v]=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7002d017ea13b4965beaf5320f9d2d872b0579)
- R(u,v)w=∇u∇vw−∇v∇uw{displaystyle R(u,v)w=nabla _{u}nabla _{v}w-nabla _{v}nabla _{u}w}
也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。
线性变换w↦R(u,v)w{displaystyle wmapsto R(u,v)w}也称曲率变换。
對稱性和恆等式
进一步,由上式定义了如下的三重线性映射
- R:(w,u,v)→R(u,v)w,{displaystyle R:(w,u,v)rightarrow R(u,v)w,}
映射R{displaystyle R}关于每一个自变量都是C∞{displaystyle C^{infty }}线性的, 故R{displaystyle R}是M{displaystyle M}上的(1,3){displaystyle (1,3)}型光滑张量场, 称之为纺射联络空间(M,∇){displaystyle (M,nabla )}的曲率张量.
在坐标向量场下，R{displaystyle R} 可以表示为
- R=Rkijldxk⊗∂∂xl⊗dxi⊗dxj.{displaystyle R=R_{kij}^{l}dx^{k}otimes {frac {partial }{partial x^{l}}}otimes dx^{i}otimes dx^{j}.}
还可以定义四重线性映射，如下
- R:(w,z,u,v)→g(R(u,v)w,z),{displaystyle R:(w,z,u,v)rightarrow g(R(u,v)w,z),}
则映射 R{displaystyle R}关于每一个自变量都是C∞{displaystyle C^{infty }} 线性的, 故R{displaystyle R}是黎曼流形(M,g){displaystyle (M,g)}上的 (0,4){displaystyle (0,4)} 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 (M,g){displaystyle (M,g)} 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, R{displaystyle R} 可以表示为
- R=Rklijdxk⊗dxl⊗dxi⊗dxj.{displaystyle R=R_{klij}dx^{k}otimes dx^{l}otimes dx^{i}otimes dx^{j}.}
- 注：上述纺射联络空间 (M,∇){displaystyle (M,nabla )}上的曲率张量 R{displaystyle R}与黎曼流形 (M,g){displaystyle (M,g)} 上的黎曼曲率张量 R{displaystyle R} 是同一个对象的不同表现形式.
- 注 Rklij=glmRkijm{displaystyle R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^{m}}.
黎曼曲率张量有如下的对称性:
- R(u,v)=−R(v,u){displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}}
- ⟨R(u,v)w,z⟩=−⟨R(u,v)z,w⟩{displaystyle langle R(u,v)w,zrangle =-langle R(u,v)z,wrangle _{}^{}}
- R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0{displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}}
最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。
这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有n2(n2−1)/12{displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12}个独立分量。
另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:
- ⟨R(u,v)w,z⟩=⟨R(w,z)u,v⟩{displaystyle langle R(u,v)w,zrangle =langle R(w,z)u,vrangle _{}^{}}
比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:
- ∇uR(v,w)+∇vR(w,u)+∇wR(u,v)=0{displaystyle nabla _{u}R(v,w)+nabla _{v}R(w,u)+nabla _{w}R(u,v)=0}
给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:
- Rabcd=−Rbacd{displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd},}
- Rabcd=Rcdab{displaystyle R_{abcd}=R_{cdab},}
- 第一（代數）比安基恒等式：Rabcd+Radbc+Racdb=0{displaystyle R_{abcd}+R_{adbc}+R_{acdb}=0,}或等價地寫為Ra[bcd]=0{displaystyle R_{a[bcd]}=0,}
![R_{{a[bcd]}}=0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb4de7a05d09f4779185892bb1b1513134acebb)
- 第二（微分）比安基恒等式：∇eRabcd+∇dRabec+∇cRabde=0{displaystyle nabla _{e}R_{abcd}+nabla _{d}R_{abec}+nabla _{c}R_{abde}=0,}或等價地寫為Rab[cd;e]=0{displaystyle R_{ab[cd;e]}=0,}
![R_{{ab[cd;e]}}=0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c935e2110170c1c4567b2cedf93d746ca8b0a16)
其中方括号表示对下标的反對稱化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。
相關條目
- 黎曼流形的曲率
- 截面曲率
- 曲率形式
外部連結
（英文）Wolfram MathWorld —— Riemann Tensor、Bianchi identity、Contracted Bianchi identity
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