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极限是现代数学特别是分析学中的基础概念之一。极限可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势。极限也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。作为微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念都是通过极限来定义的。

“函数的极限”这个概念可以更一般地推广到网中，而“序列的极限”则与范畴论中的极限和有向极限的概念密切相关。

极限的一般概念

序列的极限

对于序列（sequence）an=1n{displaystyle a_{n}={tfrac {1}{n}}}随着n的增大，an{displaystyle a_{n}}从0的右侧越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的极限（虽然这个结论是正确的，但是它仍需要证明）。

柯西（Cauchy）在19世纪给出了极限的严格定义：
设{xn},xn∈R,n=1,2,…,x0∈R{displaystyle {x_{n}},x_{n}in mathrm {R} ,n=1,2,ldots ,x_{0}in mathrm {R} }，对于任意的正实数ϵ{displaystyle epsilon }，存在自然数N{displaystyle {mathit {N}}}，使得当n>N{displaystyle {mathit {n>N}}}时，有|xn−x0|<ϵ{displaystyle |x_{n}-x_{0}|<epsilon }，用符号来表示即
∀ϵ>0,∃N∈N,∀n>N,|xn−x0|<ϵ{displaystyle forall epsilon >0,exists Nin mathbb {N} ,forall n>N,|x_{n}-x_{0}|<epsilon }

则称数列{xn}{displaystyle {x_{n}}}收敛于x0{displaystyle x_{0}}，记作limn→∞xn=x0{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}=x_{0}}。

直观地说，这就说明序列的元素（element）随着n的增大越来越靠近x0{displaystyle x_{0}}，因为上面的绝对值也可以用来刻画距离。当然这并不是说每一项都比前一项更为靠近。而且更一般地说，不是所有的序列都有极限的。如果一个序列是有极限的，我们称这个数列收敛，否则称其为发散。可以证明，如果一个序列是收敛的，那么它有且仅有一个极限。

序列的极限和函数（function）的极限之间的关系是相当密切的。一方面，序列的极限可以直接理解为一个定义在自然数集合上的函数趋于无穷时候的极限。另一方面，一个函数在x{displaystyle x}处的极限（如果存在），与序列{xn∣xn=f(x+1n)}{displaystyle {x_{n}mid x_{n}=f(x+{tfrac {1}{n}})}}的极限是相同的。

函数的极限

假设f(x){displaystyle f(x)}是一个实函数，C{displaystyle C}是一个实数，那么

limx→cf(x)=L{displaystyle lim _{xto c}f(x)=L}

表示f(x){displaystyle f(x)}可以任意地靠近L{displaystyle L}，只要我们让x{displaystyle x}充分靠近c{displaystyle c}。此时，我们说当x{displaystyle x}趋向c{displaystyle c}时，函数f(x){displaystyle f(x)}的极限是L{displaystyle L}。值得特别指出的是，这个定义在f(c)≠L{displaystyle f(c)neq L}的时候同样是成立的。事实上，即使f(x){displaystyle f(x)}在c{displaystyle c}点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。

以下两个例子或许对理解这个概念有所帮助：

考虑函数f(x)=xx2+1{displaystyle f(x)={frac {x}{x^{2}+1}}}在x{displaystyle x}趋向2{displaystyle 2}的时候的性质，此时f(x){displaystyle f(x)}在x=2{displaystyle x=2}这点是有定义的，因為f(2)=0.4{displaystyle f(2)=0.4}。

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	⇒{displaystyle Rightarrow } 0.4 ⇐{displaystyle Leftarrow }	0.3998	0.3988	0.3882

当x{displaystyle x}趋向2{displaystyle 2}的时候，函数值趋向0.4{displaystyle 0.4}，因此我们有极限limx→2f(x)=0.4{displaystyle lim _{xto 2}f(x)=0.4}。在这种情况下，即函数在某一点的取值和当x{displaystyle x}趋向这一点的极限值相同的时候，我们称f{displaystyle f}在x=c{displaystyle x=c}这一点是连续的。

当然，这是相当特殊的情况，考虑

g(x)={xx2+1,if x≠20,if x=2{displaystyle g(x)=left{{begin{matrix}{frac {x}{x^{2}+1}},&{mbox{if }}xneq 2\\0,&{mbox{if }}x=2end{matrix}}right.}

那么当x{displaystyle x}趋于2{displaystyle 2}的时候，g(x){displaystyle g(x)}的极限与前面的f(x){displaystyle f(x)}相同，都是0.4{displaystyle 0.4}。但是请注意g(2)≠0.4{displaystyle g(2)neq 0.4}，这就是说，g(x){displaystyle g(x)}在x=2{displaystyle x=2}是不连续。

或者考虑这样一个例子，使得f(x){displaystyle f(x)}在x=c{displaystyle x=c}时没有定义：

f(x)=x−1x−1{displaystyle f(x)={frac {x-1}{{sqrt {x}}-1}}}

当x{displaystyle x}=1{displaystyle 1}时，f(x){displaystyle f(x)}是没有定义的，但极限存在，即limx→1f(x)=2{displaystyle lim _{xto 1}f(x)=2}：

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	⇒{displaystyle Rightarrow } Undefined ⇐{displaystyle Leftarrow }	2.001	2.010	2.10

在x≠1{displaystyle xneq 1}的情况下，x{displaystyle x}可以任意靠近1{displaystyle 1}，从而f(x){displaystyle f(x)}的极限为2{displaystyle 2}。

实变量实值函数在有限处的极限：形式定义

形式上讲，极限可以这样定义：

命f{displaystyle f}是一个定义于包含c{displaystyle c}的开区间（或此开区间剔除c{displaystyle c}）上的实值函数，命L{displaystyle L}是一个实数，那么

limx→cf(x)=L{displaystyle lim _{xto c}f(x)=L}

表示对于任意的ε >0{displaystyle varepsilon >0}，都存在一个对应的δ >0{displaystyle delta >0}使得：当x{displaystyle x}满足0<|x−c|<δ {displaystyle 0<|x-c|<delta }时总有|f(x)−L|<ε {displaystyle |f(x)-L|<varepsilon }成立。

实变量实值函数在无穷远处的极限

与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为：x{displaystyle x}距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。因此，我们用x{displaystyle x}越来越大（如果讨论正无穷时）来替代。

例如考虑f(x)=2xx+1{displaystyle f(x)={frac {2x}{x+1}}}.

• f(100)=1.9802{displaystyle f(100)=1.9802}


• f(1000)=1.9980{displaystyle f(1000)=1.9980}


• f(10000)=1.9998{displaystyle f(10000)=1.9998}

当x{displaystyle x}非常大的时候，f(x){displaystyle f(x)}的值会趋于2{displaystyle 2}。事实上，f(x){displaystyle f(x)}与2{displaystyle 2}之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的x{displaystyle x}就可以了。此时，我们称f(x){displaystyle f(x)}趋向于（正）无穷时的极限是2{displaystyle 2}。可以写为

limx→∞f(x)=2{displaystyle lim _{xto infty }f(x)=2}

形式上，我们可以这样定义：

limx→∞f(x)=c{displaystyle lim _{xto infty }f(x)=c}

类似地，我们也可以定义：

limx→−∞f(x)=c{displaystyle lim _{xto -infty }f(x)=c}

如果考虑将f{displaystyle f}的定义域推广到扩展的实数轴，那么函数在无穷远的极限也可以看作在给定点的极限的特例。

常用性质

• 
  limn→cS⋅f(n)=S⋅limn→cf(n){displaystyle lim _{nto c}Scdot f(n)=Scdot lim _{nto c}f(n)}，这里S是个点积算法。


• 
  limn→cbf(n)=blimn→cf(n){displaystyle lim _{nto c}b{f(n)}=b{lim _{nto c}f(n)}}，这里b是常量。

以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无穷时才成立

• limn→c[f(n)+g(n)]=limn→cf(n)+limn→cg(n){displaystyle lim _{nto c}[f(n)+g(n)]=lim _{nto c}f(n)+lim _{nto c}g(n)}


• limn→c[f(n)−g(n)]=limn→cf(n)−limn→cg(n){displaystyle lim _{nto c}[f(n)-g(n)]=lim _{nto c}f(n)-lim _{nto c}g(n)}


• limn→c[f(n)⋅g(n)]=limn→cf(n)⋅limn→cg(n){displaystyle lim _{nto c}[f(n)cdot g(n)]=lim _{nto c}f(n)cdot lim _{nto c}g(n)}


• 
  limn→cf(n)g(n)=limn→cf(n)limn→cg(n){displaystyle lim _{nto c}{frac {f(n)}{g(n)}}={frac {lim _{nto c}f(n)}{lim _{nto c}g(n)}}}，如果分母的极限不为0。

拓扑网的极限

在引入网的概念下，上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间。事实上，现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的，上述的例子都是拓扑空间的具体化。

范畴论中的极限

符号史

极限的符号为lim，它出自拉丁文limit（界限）的前三个字母。

在1786年出版的德国人浏伊连（S. L'Huilier）的书中，第一次使用这个符号。不过，“x趋于a”当时都记作“x=a”，直到20世纪人们才逐渐用“→”替代“=”。

英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。